Question

Помогите решить.
(4sin(2x)sin(5x)sin(7x))/sin(4x)=1.

Answer 1

Ответ:

$x = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{12}, n \in \mathbb{Z}$

Объяснение:

$\dfrac{4 \sin{2x} \sin{5x} \sin{7x}}{\sin{4x}}  = 1$

Запишем ОДЗ:

$\sin{4x} \not = 0 \\ 4x \not = \pi m, m \in \mathbb{Z} \\ x \not = \dfrac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z}$

Перепишем уравнение в удобном виде и начнём преобразовывать:

$4 \sin{2x} \sin{5x} \sin{7x}  = \sin{4x} \\ 4 \sin{2x} \sin{5x} \sin{7x}  - 2 \sin{2x} \cos{2x} = 0 \\ \sin{2x} ( 2 \sin{5x} \sin{7x} - \cos{2x}) = 0$

Первый случай:

$\sin{2x} = 0 \\ 2x = \pi k, k \in \mathbb{R} \\ x = \dfrac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{R}$

Однако, решение, полученное в этом случае, полностью противоречит ОДЗ, так что отсюда никаких $x$ не берём.

Второй случай:

$2 \sin{5x} \sin{7x} - \cos{2x} = 0 \\ \cos{2x} - \cos{12x} - \cos{2x} = 0 \\ \cos{12x}  = 0 \\ 12x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{12}, n \in \mathbb{Z}$

В данном случае решения не пересекаются с ОДЗ, значит записываем всё в ответ.