Question

Доказать, что если a²+b²+c²=1, то a+b+c≤√3(a,b,c-неотрицательные числа)

Answer 1

Доказательство:

По неравенству Коши мы знаем, что среднее арифметическое не превышает среднее квадратичное, то есть выполняется следующее неравенство при неотрицательных a, b и с:

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq \frac{a+b+c}{3}$

Так как $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, то имеем неравенство:

$\frac{a+b+c}{3} \leq \sqrt{\frac{1}{3}}\\a + b + c \leq \frac{3}{\sqrt{3}}\\a+b+c \leq \sqrt{3}$, что и требовалось доказать