Question

решите пожалуйста 30 баллов

Answer 1

ОДЗ:

• 4 - х > 0 ⇔ х < 4
• х + 5 > 0 ⇔ х > - 5
• х + 1 > 0 ⇔ х > - 1
• 10 - x > 0 ⇔ x < 10
• log₂(10 - x) > 0 ⇔ 10 - x > 1 ⇔ x < 9
• x > 0
• 4 - x ≠ 1 ⇔ x ≠ 3
• x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0
• x ≠ 1
• logₓ2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 1 ⇔ x ≠ 1/2
• sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ πn, n ∈ Z

В итоге, окончательное ОДЗ: (0;1/2) U (1/2;1) U (1;3) U (3;π) U (π;4)

Данное неравенство несложно решается методом интервалов (или методом рационализации), приравниваем каждый множитель к нулю и находим нули функции:

• log₄₋ₓ(x + 5) = 0 ⇔ x + 5 = 1 ⇔ x = - 4 - не входит в ОДЗ
• logₓ₊₁(log₂(10 - x)) = 0 ⇔ log₂(10 - x) = 1 ⇔ 10 - x = 2 ⇔ x = 8 не входит в ОДЗ
• sinx = 0 ⇔ x = πn, n ∈ Z - х₁ = 0 ; х₂ = π  не входят в ОДЗ
• logₓ2x = 0 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 1/2 - не входит в ОДЗ

Отмечаем на числовой прямой интервал (0;4) с выколотыми точками х = 1/2 , 1 , 3 , π, применяем метод интервалов:

• На интервале (0;1/2) знак +
• на (1/2;1) знак -
• на (1;3) знак +
• на (3;π) знак -
• на (π;4) знак +

Ответом данного неравенства будут промежутки со знаками "минус" (≤)

Ответ: (1/2;1) U (3;π)