Question

Укажите значение а, при которых данная функция убывает на R и имеет критическую точку, а также те значения а при которых функция убывает на R и не имеет критических точек
$y = (a+1)x^{3}+6x^{2} +2(a+1)x +1$

Answer 1

Вообще, исходя из определений, критическая точка для функции одного переменного - это точка, в которой производная функции равна 0.

Далее, для пункта 1 нам нужно, чтобы исходная функция убывала на (-∞;+∞), для этого производная должна быть неположительной на этом же интервале и в одной точке должна быть равной нулю.

$y'=3(a+1)x^2+12x+2(a+1)$

График производной - парабола (за исключением одного случая), причем её направление зависит от выражения с параметром. Нам нужно, чтобы парабола в одной точке касалась оси ОХ, а вся остальная парабола находилась ниже оси ОХ. То есть, её ветви должны быть направлены вниз.

Но для начала рассмотрим тот случай, когда a=-1 и это не парабола.

$y'=12x$. Видно, что исходная функция будет и возрастать, и убывать, так что a=-1 не подходит нам.

Вернемся к параболе. Направление ветвей вниз - ограничение $3(a+1)<0; a<-1$

Условие, когда один корень -  D=0 в уравнении y'=0

$3(a+1)x^2+12x+2(a+1)=0; D_1=6^2-3(a+1)*2(a+1)=0;\\ 36-6(a+1)^2=0; 6-(a+1)^2=0; (a+1)^2=6; a+1=+-\sqrt{6}$

Тогда имеем два значения a: $a_1=\sqrt{6}-1; a_2=-\sqrt{6}-1$

Учитывая ограничение a<-1 (корень из 6 больше 2), берем только a2.

Теперь к пункту 2, когда критических точек нет. На самом деле, всю работу мы почти сделали. Ещё раз выпишем производную

$y'=3(a+1)x^2+12x+2(a+1)$

Теперь нам надо, чтобы даже касаний оси ОХ этой параболой не было.  Тогда получается необходимость отсутствия корней уравнения y'=0. Этот случай при D<0 (корней нет, а сама парабола находится ниже оси ОХ, главное будет потом учесть ограничение на направление ветвей вниз - a<-1)

Чтобы решить это неравенство, нужно исследовать D как функцию, найти её нули и методом интервалов решить неравенство. Но нули её мы как раз нашли. Это $a_1=\sqrt{6}-1; a_2=-\sqrt{6}-1$

$D_1=6(6-(a+1)^2)<0; 6-(a+1)^2<0; (a+1)^2-6>0;$

Методом интервалов получим левый крайний и правый крайний промежуток a∈$(-oo;-\sqrt{6}-1)$∪$(\sqrt{6}-1;+oo)$

Но теперь надо учесть ограничение a<-1. Тогда правый промежуток нам не подойдет.

a∈$(-oo;-\sqrt{6}-1)$

Как-то так. Если в задаче необходимо объединить решения пункта 1 и пункта 2, то ответ будет выглядеть так: a∈$(-oo;-\sqrt{6}-1]$