Question

10 БАЛЛОВ
Подробно пожалуйста
Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:
5 - 4cosβ - 3sinβ

Answer 1

f(β) = 5 - 4cosβ - 3sinβ

Находим производную и приравниваем к нулю:

f'(β) = 4sinβ - 3cosβ = 0  ⇒  4sinβ = 3cosβ  ⇒  tgβ = 3/4

β = arctg(3/4) + πn, n ∈ Z

1) Сначала подставим β = arctg(3/4) + 2πk, k ∈ Z

5 - 4cos(arctg(3/4) + 2πk) - 3sin(arctg(3/4) + 2πk) = 5 - 4•cos(arctg(3/4)) - 3sin(arctg(3/4)) = 5 - 4•(4/5) - 3•(3/5) = (25 - 16 - 9)/5 = 0 - это наименьшее значение

2) Подставляем β = arctg(3/4) + π + 2πm, m ∈ Z

5 - 4cos(arctg(3/4) + π + 2πm) - 3sin(arctg(3/4) + π + 2πm) = 5 + 4cos(arctg(3/4)) + 3sin(arctg(3/4)) = 5 + 4•(4/5) + 3•(3/5) = 50/5 = 10 - это наибольшее значение

Ответ: наибольшее значение выражения - 10, наименьшее значение - 0