Question

$AB=100 -$ диаметр окружности с центром в точке $O$, $BC=80 -$ хорда окружности, $OK$⊥$AB$, $K$∈$BC$. Найдите удвоенную площадь треугольника $KOB$.

Answer 1

Вписанный угол ACB опирается на диаметр AB, следовательно, ∠ACB = 90°, тогда по теореме Пифагора:

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60$

$S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{60\cdot80}{2}=2400$ кв. ед.

Далее у треугольников ABC и KOB ∠B общий и углы прямые равны, значит эти треугольники подобны по двум углам. Коэффициент подобия: $k=\dfrac{OB}{BC}=\dfrac{100/2}{80}=\dfrac{5}{8}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\dfrac{S_{KOB}}{S_{ABC}}=k^2=\dfrac{5^2}{8^2}~~\Rightarrow~~ S_{KOB}=\dfrac{25}{64}\cdot S_{ABC}=\dfrac{25}{64}\cdot2400=937.5$

Отсюда $2S_{KOB}=2\cdot 937.5=1875$ кв. ед.

Ответ: 1875 кв. ед.