Question

Даю 98 балов помогите пж с 2 номерами!!!

Answer 1

105.

Решаем уравнение:

$\tt x^2+5x-7=0\\\\D=25+28=53\\\\x_1=\cfrac{-5-\sqrt{53}}{2}\\\\ x_2=\cfrac{-5+\sqrt{53}}{2}$

Вычисляем корни нового уравнения (каждый на 1 больше):

$\tt x_1=\cfrac{-5-\sqrt{53}}{2}+1=\cfrac{-5-\sqrt{53}+2}{2}=\bold{\cfrac{-3-\sqrt{53}}{2}}\\\\x_2=\cfrac{-5+\sqrt{53}}{2}+1=\cfrac{-5+\sqrt{53}+2}{2}=\bold{\cfrac{-3+\sqrt{53}}{2}}$

Теорема Виета:

$\tt x^2+px+q=0\\\\x_1+x_2=-p\\x_1\cdot x_2=q$

Зная корни уравнения, вычислим p и q:

$\tt -p=x_1+x^2=\cfrac{-3-\sqrt{53}}{2}+\cfrac{-3+\sqrt{53}}{2}=\cfrac{-6}{2}=-3 \ \Rightarrow \ p=3 \\\\\\ q=x_1\cdot x_2=\cfrac{-3-\sqrt{53}}{2}\cdot\cfrac{-3+\sqrt{53}}{2}=\cfrac{(-3)^2-(\sqrt{53})^2}{4}=\cfrac{9-53}{4}=-11$

Запишем искомое уравнение:

$\boxed{\tt x^2+3x-11=0}$

106. Решается аналогично.

Решаем уравнение:

$\tt 2x^2-13x+5=0\\\\D=169-40=129\\\\x_1=\cfrac{13-\sqrt{129}}{4}\\\\ x_2=\cfrac{13+\sqrt{129}}{4}$

Вычисляем корни нового уравнения (каждый в 4 раза больше):

$\tt x_1=\cfrac{13-\sqrt{129}}{4}\cdot4=\bold{13-\sqrt{129}}\\\\x_2=\cfrac{13+\sqrt{129}}{4}\cdot4=\bold{13+\sqrt{129}}$

По теореме Виета вычисляем p и q:

$\tt -p=x_1+x^2=13-\sqrt{129}+13+\sqrt{129}=26 \ \Rightarrow \ p=-26 \\\\\\ q=x_1\cdot x_2=(13-\sqrt{129})(13+\sqrt{129})=13^2-(\sqrt{129})^2=40$

Запишем искомое уравнение:

$\boxed{\tt x^2-26x+40=0}$

Answer 2

Сперва решим квадратное уравнение

$x^2+5x-7=0; D=5^2-4*1*(-7)=25+28=53;\\ x=\frac{-5+-\sqrt{53} }{2};x_1=\frac{-5-\sqrt{53} }{2}; x_2=\frac{-5+\sqrt{53} }{2} ;$

Корни найдены, теперь прибавим к каждому из них 1, получаем

$x_{0}=\frac{-5+-\sqrt{53} }{2}+1=\frac{-3+-\sqrt{53} }{2}$

Итоговое квадратное уравнение будет иметь вид:

$(x-\frac{-3+\sqrt{53} }{2} )(x-\frac{-3-\sqrt{53} }{2})=0$

Можно перемножить, конечно, но теорему Виета никто не отменял.

Учитывая, что мы берем a=1, то

$\left \{ {{x_1+x_2=-b} \atop {x_1*x_2=c}} \right.; \left \{ {{\frac{-3+\sqrt{53} }{2} +{\frac{-3-\sqrt{53} }{2}=-b} \atop {(\frac{-3+\sqrt{53} }{2})(\frac{-3-\sqrt{53} }{2}) =c}} \right.;\left \{ {{-3=-b} \atop {\frac{(-3)^2-(\sqrt{53})^2 }{4} =c}} \right.;\left \{ {{b=3} \atop {c=-11 }} \right.$

Можно было вообще решить, не находя корни

Пусть корни со штрихом - новые корни, которые побольше, а без штриха -  старые. Тогда $\left \{ {{x_1'=x_1+1} \atop {x_2'=x_2+1}} \right. ;$

Такие же условности и с коэффициентами. Тогда получим

$\left \{ {{x_1+x_2=-b} \atop {x_1x_2=c}} \right.; \left \{ {{x_1'+x_2'=-b'} \atop {x_1'x_2'=c'}} \right.$

Заменяем новые корни через старые и выражаем новые коэффициенты через старые:

$\left \{ {{x_1+1+x_2+1=-b'} \atop {(x_1+1)(x_2+1)=c'}} \right.;\left \{ {{(x_1+x_2)+2=-b'} \atop {x_1x_2+(x_1+x_2)+1=c'}} \right.;\left \{ {{-b+2=-b'} \atop {c-b+1=c'}} \right. ;\left \{ {{b'=-(-5+2)=3} \atop {c'=-7-5+1=-11}} \right.$

Таким образом, уравнение это $x^2+3x-11=0$

Теперь второе задание

Решим его без нахождения корней. Делаем все то же самое.

Но сначала приведем его к виду, чтобы a=1, поделив уравнение на 2, тогда получим $x^2-\frac{13}{2}x+\frac{5}{2}=0; b=-\frac{13}{2};c=\frac{5}{2}$

$\left \{ {{x_1'=4x_1} \atop {x_2'=4x_2}} \right.;\left \{ {{4x_1+4x_2=-b'} \atop {4x_1*4x_2=c'}} \right. ;\left \{ {{4(x_1+x_2)=-b'} \atop {16x_1x_2=c'}} \right. ;\left \{ {{-4b=-b'} \atop {16c=c'}} \right.;\left \{ {{b'=4b} \atop {c'=16c}} \right.$

Тогда $b'=4b=4*-\frac{13}{2}=-26;c'=16c=16*\frac{5}{2}=40$

Квадратное уравнение имеет вид $x^2-26x+40=0;$