Question

Помогите решить 1 пожалуйста

Answer 1

Сначала выполним некоторые примитивные действия

$a^2x+2\leq a+4x; (a^2-4)x\leq a-2;(a-2)(a+2)x\leq a-2;\\ (a-2)((a+2)x-1)\leq 0;$

Теперь уже надо рассматривать в зависимости от параметра a.

Крайний случай a = 2. Подставив его, получим верное неравенство (даже равенство), так что при a = 2 x∈R (все действительные значения)

Далее при a>2: a-2>0, поделим на эту скобку и без изменения знака

$(a+2)x-1\leq 0; (a+2)x\leq 1$

Так как a-2>0, то a+2 тем более больше 0, делим на a+2, не меняя знака

$x\leq \frac{1}{a+2}$

Теперь вернемся к рассмотрению случаев, когда a<2, то есть a-2<0 и деление на a-2 поменяет знак неравенства.

$(a+2)x-1\geq 0; (a+2)x\geq 1;$

Крайний случай здесь a = -2. Подставим это значение в неравенство и получим 0≥1, это неверно, то есть при a = -2 x∈∅ (нет решений).

Далее рассматриваем подслучай -2<a<2, здесь a+2>0, то есть делим без изменения знака неравенства

$x\geq \frac{1}{a+2}$

И остался случай, когда a<-2, тогда a+2<0 и деление изменит знак неравенства

$x\leq \frac{1}{a+2}$

Подводя итог, получаем при a∈(-∞;-2) x≤1/(a+2); при a=-2 x∈∅;

при a∈(-2;2) x≥(a+2); при a=2 x∈R; при a∈(2;+∞) x≤1/(a+2)

Видно, что промежутки с бесконечностью можно объединить, так как решение неравенства одинаковые по написанию (можно и оставить, это как угодно, но я лично объединю)

Ответ: при $a$∈$(-oo;-2)$∪$(2;+oo)$ $x\leq \frac{1}{a+2}$, при a = -2 x∈∅, при a = 2 x∈R, при $a$∈$(-2;2)$ $x\geq \frac{1}{a+2}$