Question

Из урны, содержащей 3 белых и 33 черных шаров, извлекают по одному шару без возвращения до первого появления шара черного цвета. Найдите математическое ожидание числа вынутых белых шаров.

Answer 1

Случайная величина X - число вынутых белых шаров.

Опыт может быть проведен один раз, если черный шар появится сразу: $P(X=0)=\dfrac{33}{36}=\dfrac{11}{12}$

Если же в первый раз извлекли белый шар, а при втором извлечении появился черный шар, то

$P(X=1)=\dfrac{3}{36}\cdot \dfrac{33}{35}=\dfrac{11}{140}$

Если же при втором извлечении появился белый шар, а и при третьем черный шар, то

$P(X=2)=\dfrac{3}{36}\cdot \dfrac{2}{35}\cdot \dfrac{33}{34}=\dfrac{11}{2380}$

Аналогично

$P(X=3)=\dfrac{3}{36}\cdot\dfrac{2}{35}\cdot\dfrac{1}{34}\cdot\dfrac{33}{33}=\dfrac{1}{7140}$

$P(X=4)=0$

Xi        0             1             2            3

Pi      11/12      11/140    11/2380   1/7140

Случайная величина Х распределена дискретно

Математическое ожидание дискретной случайной величины X:

$MX=0\cdot \dfrac{11}{12}+1\cdot\dfrac{11}{140}+2\cdot\dfrac{11}{2380}+3\cdot\dfrac{1}{7140}=\dfrac{3}{34}$