Question

решите пожалуйста,30 баллов

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{(x-4)^2(x-3)>0,} \atop {x-3>0;}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{(x-4)^2>0,} \atop {x-3>0;}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x-4\neq0,} \atop {x-3>0;}} \right. \Leftrightarrow\left \{ {{x>3,} \atop {x\neq4.}} \right.$

$\boxed{x\in(3; 4)\cup(4; +\infty) (1)}$

$log_5^2\frac{(x-4)^2(x-3)}{48}>log_{0,2}^2\frac{x-3}{3},\\log_5^2\frac{(x-4)^2(x-3)}{48}>log_{5^{-1}}^2\frac{x-3}{3},\\log_5^2\frac{(x-4)^2(x-3)}{48}>log_5^2\frac{x-3}{3},\\log_5^2\frac{(x-4)^2(x-3)}{48}-log_5^2\frac{x-3}{3}>0,\\(log_5\frac{(x-4)^2(x-3)}{48}-log_5\frac{x-3}{3})(log_5\frac{(x-4)^2(x-3)}{48}+log_5\frac{x-3}{3})>0,\\log_5\frac{3(x-4)^2(x-3)}{48(x-3)}log_5\frac{(x-4)^2(x-3)^2}{48\cdot3}>0,\\log_5\frac{(x-4)^2}{16}log_5\frac{(x-4)^2(x-3)^2}{144}>0.$

Применяем метод рационализации:

$(\frac{(x-4)^2}{16}-1)(\frac{(x-4)^2(x-3)^2}{144}-1)>0,\\((x-4)^2-16)(((x-4)(x-3))^2-144)>0,\\((x-4)^2-4^2)(((x^2-7x+12)^2-12^2)>0,\\x(x-8)(x^2-7x)(x^2-7x+24)>0|:(x^2-7x+24),\\x^2(x-7)(x-8)>0.$

$\boxed{x\in(-\infty; 0)\cup(0; 7)\cup(8; +\infty) (2)}$

Найдем пересечение $(1)$ и $(2).$

$\left \{ {{x\in(3; 4)\cup(4; +\infty),} \atop {x\in(-\infty; 0)\cup(0; 7)\cup(8; +\infty);}} \right. \Leftrightarrow x\in(3;4)\cup(4;7)\cup(8; +\infty).$

Ответ: $x\in(3;4)\cup(4;7)\cup(8; +\infty).$