На фото///////:///////////////////////
Ответы
Ответ : (1;0) , (8;0) , (2;0 ) , (2;-1) , ( 3;0) , (4;-1)
Объяснение
x^2-x*(y^2+5) +(y^2-y+6)=0
x^2-x*(y^2+5) +(y^2+4) = y-2
(x-1)*( x- (y^2+4) )=y-2
(x-1)*( (x-1) - (y^2+3) )= y-2
Сделаем замену :
x-1=a
y-2=b
y^2+3= (b+2)^2+3=b^2+4b+7
Пусть : a>7 (x>8)
a* (a - (b^2+4b+7) )=b
a^2 -a* (b^2+4b+7) -b=0
1) b=0 (y=2)
a^2-7a=0
a1=0 (подходит) (x=1)
a2=7 (подходит) (x=8)
2) b>0 (y>2)
Видно , что b делится на a , тогда , поскольку b>0 и a>7 :
b=k*a
k-натуральное число (k>0)
a^2 -a*( k^2*a^2 +4*k*a +7) -k*a = 0
Поскольку a>0 :
a -k^2*a^2-4*k*a -7 -k =0
Отсюда видно , что
a-7 делится на k ( a-7> 0)
k+7 делится на a (k+7>0)
Рассмотрим случай , когда :
k≠ a-7
Тогда справедливы неравенства:
a-7 > k
k+7 > a
Cкладываем неравенства :
a+k > a+k невозможно , поскольку a+k=a+k
Значит k= a-7
-(a-7)^2*a^2 -4*(a-7)*a=0
a*(a-7)=k*a=b > 0
-b-4=0
b=-4<0 (неудовлетворяет условию b>0)
2) b<0 (y<2)
В этом случае для удобства заменим :
b=-c , где с - натуральное число (c>0) .
a^2 -a* (b^2+4b+7) -b=0
a^2 -a* ( (-c)^2 +4*(-c) +7) +c=0
a^2 -a* (c^2-4c+7) +c=0
c делится на a : c=k*a , где k-натуральное число (k>0) ( поскольку с>0 ; a>7)
a^2 -a * ( k^2*a^2 -4*a*k+7) +k*a=0
a>7 , тогда
a - k^2*a^2 +4a*k -7 +k=0
a-7 делится на k ( a-7 >0 )
k-7 делится на a.
Пусть : k>7 (k-7 >0) :
Тогда :
a-7>=k
k-7>=a
Cкладываем неравенства :
a+k-14>=a+k
-14>=0 ( невозможно)
Пусть : k<7 (7-k >0)
a-7 >=k
7-k>=a
Cкладываем неравенства:
a-k>=k+a
2k<=0
k<=0 ( невозможно , тк k>0 )
Пусть : k=7
a -49*a^2 +28*a=0
a>7
49*a=29
29 не делится на 49 .
Таким образом мы показали , что не существует целых значений значений a>7 или x-1>7 → x>8
А значит x<=8 .
Запишем теперь оригинальное уравнение относительно y :
(1-x)*y^2 -y + (x^2-5x+6) =0
(1-x)*y^2 -y + (x-2)*(x-3)=0
Для существования решений дискриминант должен быть неотрицательным :
D= 1+4*(x-1)*(x-2)*(x-3)>=0
Пусть x<=0 , тогда поскольку произведение трех отрицательных чисел и положительного числа отрицательна , то
4*(x-1)*(x-2)*(x-3) <= 4*(-1)*(-2)*(-3)=-24
D<=-23 ( не подходит)
Таким образом : x>=1
1<=x<=8
Крайние случаи :
x=1 y=2
x=8 y=2
Мы уже разобрали.
Осталось разобрать случаи : x=2;3;4;5;6;7
Для каждого случая проверяем , чтобы дискриминант был полным квадратом: ( D= 1+4*(x-1)*(x-2)*(x-3) )
y= (1+-√D)/( 2*(1-x) )
x=2 или x=3
D = 1+0=1=1^2 ( подходит)
x=2 : y= (1+-1)/ ( -2)
y=0 ; y=-1
x=3 : y= (1+-1)/(-4)
y=0 ; y= -1/2 ( не подходит)
x=4
D= 1+4*3*2*1= 25= 5^2 - подходит
y= (1+-5)/(-6)
y=-1 ; y=2/3 не подходит.
x=5
D=1 +4*4*3*2=97 (не подходит)
x=6
D= 1+4*5*4*3 = 241 ( не подходит)
x=7
D= 1+4*6*5*4= 481 ( не подходит)
Таким образом можно записать ответ :
(1;2) , (8;2) , (2;0 ) , (2;-1) , ( 3;0) , (4;-1)