Предмет: Алгебра, автор: Аноним

На фото///////:///////////////////////

Приложения:

mathgenius: Завтра.
mathgenius: вернее сегодня , но позже

Ответы

Автор ответа: mathgenius
0

Ответ : (1;0) , (8;0)  , (2;0 )  , (2;-1) , ( 3;0) , (4;-1)

Объяснение

x^2-x*(y^2+5) +(y^2-y+6)=0

x^2-x*(y^2+5) +(y^2+4) = y-2

(x-1)*( x- (y^2+4) )=y-2

(x-1)*(  (x-1) - (y^2+3) )= y-2

Сделаем замену :

x-1=a

y-2=b

y^2+3= (b+2)^2+3=b^2+4b+7

Пусть :  a>7  (x>8)

a* (a - (b^2+4b+7) )=b

a^2 -a* (b^2+4b+7) -b=0

1)  b=0  (y=2)

a^2-7a=0

a1=0 (подходит)  (x=1)

a2=7 (подходит)  (x=8)

2) b>0   (y>2)

  Видно , что b делится на a , тогда , поскольку b>0 и a>7 :

b=k*a  

k-натуральное число (k>0)

a^2 -a*( k^2*a^2 +4*k*a +7) -k*a = 0

Поскольку  a>0 :

a  -k^2*a^2-4*k*a -7 -k =0

Отсюда видно , что

a-7 делится на k  ( a-7> 0)

k+7 делится на a  (k+7>0)

Рассмотрим случай , когда :

k≠ a-7

Тогда справедливы неравенства:

a-7 > k

k+7 > a

Cкладываем  неравенства :

a+k > a+k     невозможно , поскольку  a+k=a+k

Значит  k= a-7

-(a-7)^2*a^2 -4*(a-7)*a=0

a*(a-7)=k*a=b > 0

-b-4=0

b=-4<0  (неудовлетворяет условию b>0)

2)  b<0   (y<2)

В  этом случае для  удобства заменим :

b=-c   , где  с - натуральное число  (c>0) .

a^2 -a* (b^2+4b+7) -b=0

a^2 -a* ( (-c)^2 +4*(-c) +7) +c=0

a^2 -a* (c^2-4c+7) +c=0

c делится на  a :    c=k*a  , где  k-натуральное число (k>0)                                          ( поскольку с>0 ; a>7)

a^2 -a * ( k^2*a^2 -4*a*k+7) +k*a=0

a>7 , тогда

a - k^2*a^2 +4a*k -7 +k=0

a-7 делится на k  (  a-7 >0 )

k-7   делится на  a.

Пусть :  k>7  (k-7 >0) :

Тогда :

a-7>=k

k-7>=a

Cкладываем неравенства :

a+k-14>=a+k

-14>=0 ( невозможно)

Пусть :   k<7   (7-k >0)

a-7 >=k

7-k>=a

Cкладываем неравенства:

a-k>=k+a

2k<=0  

k<=0 (  невозможно , тк k>0 )

Пусть :  k=7

a -49*a^2 +28*a=0

a>7

49*a=29

29 не  делится на 49 .

Таким образом  мы показали , что не  существует  целых значений  значений  a>7 или  x-1>7  → x>8

А  значит   x<=8 .

Запишем теперь оригинальное уравнение относительно y :

(1-x)*y^2 -y + (x^2-5x+6) =0

(1-x)*y^2 -y + (x-2)*(x-3)=0

Для существования решений  дискриминант должен быть неотрицательным :

D= 1+4*(x-1)*(x-2)*(x-3)>=0

Пусть x<=0 ,  тогда  поскольку произведение трех отрицательных чисел и положительного  числа отрицательна , то

4*(x-1)*(x-2)*(x-3) <= 4*(-1)*(-2)*(-3)=-24

D<=-23  ( не подходит)

Таким образом :  x>=1

1<=x<=8

Крайние случаи  :

x=1  y=2

x=8 y=2

Мы  уже разобрали.

Осталось разобрать случаи :  x=2;3;4;5;6;7

Для каждого случая проверяем , чтобы дискриминант был полным квадратом:  ( D= 1+4*(x-1)*(x-2)*(x-3) )

y= (1+-√D)/( 2*(1-x) )

x=2   или  x=3

D = 1+0=1=1^2 ( подходит)

x=2 :  y= (1+-1)/ ( -2)

y=0 ;  y=-1

x=3 :  y= (1+-1)/(-4)

y=0  ; y= -1/2  ( не  подходит)

x=4

D= 1+4*3*2*1= 25= 5^2 - подходит

y= (1+-5)/(-6)  

y=-1 ;  y=2/3  не подходит.

x=5

D=1 +4*4*3*2=97  (не  подходит)

x=6

D= 1+4*5*4*3 = 241 ( не  подходит)

x=7

D= 1+4*6*5*4= 481  ( не  подходит)

Таким образом можно записать ответ :

(1;2) , (8;2)  , (2;0 )  , (2;-1) , ( 3;0) , (4;-1)

 

 


mathgenius: Решение перепроверял много раз на ошибки. Но все равно смотрите очень внимательно. Если найдёте неточность в рассуждениях , то обязательно мне сообщите.
Похожие вопросы