Question

Помогите, пожалуйста, решитъ 7 и 8 ( уравнение и неравенство) Даю 34 бала.

Answer 1

$\sqrt{x^2-7x+49} = x^2 + 3x\\x^2-7x+49 =(x^2+3x)^2, x^2+3x \geq 0\\x^2-7x+49 = x^4+6x^3+9x^2\\x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 7x - 49 = 0\\x^4 + 4 * 1.5x^3 + 6 * 1.5^2 x^2 + 4 * 1.5^3x + 1.5^4 - 6 * 1.5x^2 - 4*1.5^3x - 1.5^4 + 8x^2 + 7x - 49 = 0\\(x+1.5)^4-x^2-6.5x-54.0625=0\\t = x + 1.5 => x = t - 1.5\\t^4 - (t-1.5)^2 - 6.5(t-1.5) - 54.0625 = 0\\t^4 - t^2 + 3t - 2.25 - 6.5t + 9.75 - 54.0625 = 0\\t^4 - t^2 - 3.5t - 46.5625 = 0\\t^4 - 2 * 0.5t + 0.25 - 0.25 - 3.5t - 46.5625 = 0$

$(t^2-0.5)^2 = 3.5t + 46.8125\\(t^2 - 0.5 + a) = 3.5t + 46.8125 + 2(t^2-0.5)a + a^2\\f(t) = 3.5t + 46.8125 + 2at^2 - a + a^2 = 2at^2 + 3.5t + a^2 - a + 46.8125\\D = 3.5^2 - 4 * 2a (a^2-a+46.8125) = 0\\3.5^2 - 4 * 2a (a^2-a+46.8125) = 12.25 - 8a^3 + 8a^2 - 374.5a = -8a^3 + 8a^2 - 374.5a + 12.25 = 0\\-8a^3 + 8a^2 - 374.5a + 12.25 = 0\\8a^3 - 8a^2 + 374.5a - 12.25=0\\2a = m => (2a)^3 - 2 * (2a)^2 + 187.25 * (2a) - 12.25 = 0 => m^3 - 2m^2 + 187.25m - 12.25 = 0$

$m^3 - 2m^2 + 187.25m - 12.25 = m^3 - 3 *\frac{2}{3}m^2 + 3 * (\frac{2}{3})^2m -(\frac{2}{3})^3 -3 * (\frac{2}{3})^2m +(\frac{2}{3})^3 + 187.25m - 12.25 = (m-\frac{2}{3})^3 - \frac{4}{3}m + 187.25m + \frac{8}{27} - 12.25 =(m-\frac{2}{3})^3 + \frac{2231}{12}m - \frac{1291}{108}=0\\m-\frac{2}{3} = b => m = b +\frac{2}{3}\\b^3 + \frac{2231}{12}(b +\frac{2}{3}) -\frac{1291}{108} = b^3 +\frac{2231}{12}b +$

$\frac{2231}{18} - \frac{1291}{108} = b^3 +\frac{2231}{12}b + \frac{12095}{108} =0\\ Q = (\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3 = (\frac{12095}{216})^2 + (\frac{2231}{36})^3 = \frac{12095^2+2231^3}{6^6} =\frac{11250781416}{6^6}\\ \sqrt{Q} = \frac{\sqrt{11250781416}}{216}\\b = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}$

$b = \sqrt[3]{-\frac{12095}{216}+\frac{\sqrt{11250781416}}{216}} + \sqrt[3]{-\frac{12095}{216}-\frac{\sqrt{11250781416}}{216}} = \frac{1}{6}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095})\\m = b +\frac{2}{3} = \frac{1}{6}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)\\m = 2a => a = \frac{m}{2} = \frac{1}{12}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)\\(t^2 - 0.5 + a)^2 = 3.5t + 46.8125 + 2(t^2-0.5)a + a^2$

Да, кстати, корень кубического уравнения единственный в поле действительных чисел, так как его дискриминант больше нуля.

Теперь, при таком значении а правая часть вышенаписанного уравнения - это полный квадрат. Найдем корень, учитывая это:

$t_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-3.5}{4a} = -\frac{7}{8a} = -\frac{7}{8*\frac{1}{12}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)} = \frac{21}{2(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)}$

Теперь свернем правую часть в полный квадрат и решим обычное квадратное уравнение:

$(t^2 - 0.5 + a)^2 = 2a(t-t_0)^2 = (\sqrt{2a}(t-t_0))^2\\(t^2 - 0.5 + a)^2 - (\sqrt{2a}(t-t_0))^2 = 0\\(t^2 - 0.5 + a - \sqrt{2a}(t-t_0))(t^2 - 0.5 + a + \sqrt{2a}(t-t_0))=0\\(t^2 - \sqrt{2a}*t + \sqrt{2a}*t_0 + a - 0.5)(t^2 + \sqrt{2a}*t - \sqrt{2a}*t_0 +a-0.5) = 0$

Рассмотрим первую скобку и найдем такие t, при которых она обнуляется. Получим:

$t^2 - \sqrt{2a}*t + \sqrt{2a}*t_0 + a - 0.5 = 0\\D = 2a - 4a - 4\sqrt{2a}* t_0 + 2 = 2 - 2a - 4\sqrt{2a}*t_0$

Честно говоря, мне кажется, в условии допущена ошибка. Циферки сами подставите и посчитаете, писать это неудобно.

PS: спасибо Тартальи и Ферарро.