Question

Помогите решить!!
(2+√3)^x+(2-√3)^x=4 ​

Answer 1

Ответ:

±1

Пошаговое объяснение:

Прежде всего докажем, что функция левой части уравнения чётна.

Пусть рассмотрим f(-x). Тогда имеем дело:

$\frac{1}{(2+\sqrt3)^x} + \frac{1}{(2-\sqrt3)^x} = \frac{(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x}{(2+\sqrt3)^x(2-\sqrt3)^x} = \\=  \frac{(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x}{((2+\sqrt3)(2-\sqrt3))^x} =  \frac{(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x}{1} = (2+\sqrt3)^x + (2 - \sqrt3)^x$

С другой стороны, нетрудно заметить, что функция при x > 0 монотонно возрастает, поэтому на полуплоскости x > 0 может быть как максимум один корень (соответственно так как функция четна, на всей плоскости либо два корня, либо их нет вообще). Нетрудно подобрать корень x = 1, так корни сокращаются, остается 2 + 2 = 4. Это первый корень, соответственно вторым будет х = -1.

Answer 2

Ответ:

-1; 1.

Пошаговое объяснение:

(2+√3)^x+(2-√3)^x=4 ​

Заметим, что

(2+√3)•(2-√3) = 4 -3 = 1, тогда выражения (2+√3) и (2-√3) - взаимно обратные.

Пусть (2+√3)^x = t, t> 0, тогда (2-√3)^x = 1/t, уравнение примет вид:

t + 1/t = 4.

Так как t отлично от нуля, домножим на t обе части равенства:

t^2 + 1 = 4t

t^2 - 4t + 1 = 0

D = 12

t1 = (4 - 2√3)/2 = 2 - √3

t2 = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3

Получили, что

1) (2+√3)^x = 2 - √3

(2+√3)^x = (2 +√3)^(-1)

х = - 1.

ИЛИ

2) (2+√3)^x = (2 + √3)^1

х = 1.

Ответ: -1; 1.