Question

Найдите наибольшее значение функции y = x^3+2x^2+x+ 3 на отрезке [-3; -0,5].

Answer 1

y = x³ + 2x² + x + 3       [ - 3 ; - 0,5]

Найдём производную :

y' = (x³)' + 2(x²)' + (x)' + 3' = 3x² + 4x + 1

Приравняем производную к нулю :

3x² + 4x + 1 = 0

D = 4² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4 = 2²

$x_{1}=\frac{-4+2}{6}=-\frac{1}{3}\\\\x_{2}=\frac{-4-2}{6}=-1$

x= - 1/3 ∉ [- 3 ; - 0,5]

Сделаем рисунок и определим знаки производной на полученных промежутках :

                   +                               -

   [ - 3]___________[- 1]____________[- 0,5]

                   ↑                               ↓

                                   max

На промежутке [- 3 ; - 1] функция возрастает, а на промежутке [- 1; - 0,5]- убывает . Значит в точке x = - 1 функция имеет максимум.

y (- 1) = (- 1)³ + 2 * (- 1)² - 1 + 3 = - 1 + 2 - 1 + 3 = 3

Ответ : наибольшее значение функции равно 3