Question

Тригонометрические уравнения. Срочно ​

Answer 1

$\displaystyle 1+2\sin x|\cos x|=0\\ \begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}\cos x\ge 0~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 1+2\sin {(x)}\cos x=0\end{matrix} ~\\ \begin{Bmatrix}\cos x<0~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 1-2\sin{(x)} \cos x=0\end{matrix} \end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}\cos x\ge 0~~\\ \sin{2x} =-1\end{matrix} \\ \begin{Bmatrix}\cos x<0~~\\ \sin{2x} =1\end{matrix} ~\end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}\cos x\ge 0~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 2x=-\frac{\pi}2 +2\pi k,k\in \mathbb{Z} \end{matrix} \\ \begin{Bmatrix}\cos x<0~~~~~~~~~~~~~~~\\ 2x=\frac{\pi}2 +2\pi n,n\in \mathbb{Z} \end{matrix} ~~\end{matrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}\cos x\ge 0~~~~~~~~~~~~~~\\ x=-\frac{\pi}4 +\pi k,k\in \mathbb{Z} \end{matrix} ~~\boxed {1.}\\ \begin{Bmatrix}\cos x<0~~~~~~~~~~~~\\ x=\frac{\pi}4 +\pi n,n\in \mathbb{Z} \end{matrix} ~~\boxed{2.} ~~\end{matrix}$

Решим системы через тригонометрический круг.

$\displaystyle \begin{bmatrix}x=\pm \frac{\pi}4 +2\pi k,k\in \mathbb{Z} \\ \\ x=\pm \frac{3\pi}4 +2\pi n,n\in \mathbb{Z} \end{matrix}$

$\displaystyle x=\begin{Bmatrix}\pm \frac{\pi}4 +2\pi k;\pm \frac{3\pi}4 +2\pi n\end{Bmatrix} ,k,\! n\in \mathbb{Z}$

Наименьшим положительным решением будет x₁ = π/4 = 45°.

Наибольшим отрицательным решением решением будет x₂ = -π/4 = -45°.

Это можно определить, как по записи множества значений x, так и по точкам на круге, являющимися решением.

x₁-x₂ = 45°-(-45°) = 90°.

Ответ: 90°.