Question

Докажите,что при любом n принадлежащее N,выполняется равенство

Answer 1

Доказательство:

Разложим дробь вида

$\frac{1}{(7n-2)(7n+5)}$. Оно будет иметь вид $\frac{A}{7n-2} + \frac{B}{7n+5}$, где A и B некоторые числа. Приводим к общему знаменателю:

$\frac{A(7n+5) + B(7n-2)}{(7n-2)(7n+5)} =\\= \frac{7n(A+B) + (5A - 2B)}{(7n-2)(7n+5)}$

Так как числитель равен 1, то отсюда делаем вывод, что A + B = 0, и 5A - 2B = 1. Так как A = -B, то 5А + 2А = 1, откуда имеем А = 1/7, B = -1/7. То есть данную дробь можно разложить как $\frac{\frac{1}{7}}{7n-2} - \frac{\frac{1}{7}}{7n+5}$

Теперь, если каждое слагаемое представит в таком виде, получится что-то вроде

$\frac{\frac{1}{7}}{5} - \frac{\frac{1}{7}}{12} + \frac{\frac{1}{7}}{12} - \frac{\frac{1}{7}}{19} + ... + \frac{\frac{1}{7}}{7n-2} - \frac{\frac{1}{7}}{7n + 5} = \\=\frac{\frac{1}{7}}{5} - \frac{\frac{1}{7}}{7n+5} = \frac{n + \frac{5}{7} - \frac{5}{7}}{5(7n+5)} = \frac{n}{5(7n+5)}$, что и требовалось доказать