Question

При каком положительном k система имеет единственное решение:
4x+ky=26
x^2+y^2=13

Answer 1

{4x+ky=26
{x²+y²=13

4х=(26-ky)|÷4
x=(26-ky)/4

((26-ky)/4)²+y²=13
((26-ky)²/16)+y²=13|×16
(26-ky)²+16y²=208
26²-2×26×ky+k²y²+16y²=208
676-52ky+k²y²+16y²-208=0
k²y²+16y²-52ky+468=0
(k²+16)y²-52ky+468=0

Квадратное уравнение имеет один корень, когда дескрименант равен нулю.

b²-4ac=D

a=(k²+16)
b=(-52k)
c=468
D=0

(-52k)²-4×(k²+16)×468=0
2704k²-1872×(k²+16)=0
2704k²-1872k²-29952=0
832k²-29952=0
832k²=29952|÷832

k²=36

k1=6 - является решением, так как в условии спрашивается при каком положительном значении k.

k2=(-6).

Проверка:

{4x+ky=26
{x²+y²=13

{4x+6у=26
{x²+y²=13


4х=(26-6y)|÷4
x=(26-6y)/4
х=(26/4)-(6у/4)

х=(6,5-1,5у)


х²+y²=13

(6,5-1,5у)²+у²=13

6,5²-2×6,5×1,5у+(-1,5у)²+у²-13=0

42,25-19,5y+2,25у²+у²-13=0

3,25у²-19,5у+29,25=0

D²=(-19,5)²-4×3,25×29,25

D²=380,25-380,25

D²=0

D=0 => y=(-b)/2×a

y=(-(-19,5))/2×3,25

y=(19,5/6,5)

y=3

х=(6,5-1,5у)
x=(6,5-1,5×3)
x=(6,5-4,5)

x=2

{4x+6у=26
{x²+y²=13

4×2+6×3=26
8+18=26
26=26-истина

2²+3²=13
4+9=13
13=13-истина.

Ответ: При k=6, система уравнений имеет единственное решение (2;3).