Решить в натуральных числах: х^3-4х=у^2
Ответы
Ответ:
Нет решений
Пошаговое объяснение:
Представим в виде : х*(х-2)*(х+2)=у*у
Все простые делители числа у возводятся в квадрат.
Если х четно, то все сомножители слева имеют только один общий делитель 2. Значит либо они все квадратные, либо их произведение содержит простые делители не повторяющиеся.
Все три числа, очевидно, квадратными быть не могут.
(Докажем, что х и х+2 не могут быть квадратными одновременно.
Пусть х=м*м . Ясно, что если х+2=к*к, то к может быть только м+1. Но м*м+2м+1 больше чем м*м+2)
Если х нечетное, то все сомножители взаимно простые кроме двух четных. Значит решений нет
Пусть : НОД(x,y)= t
x=a*t
y=b*t
a , b взаимно простые натуральные числа.
a^3*t^3 -4*a*t -b^2*t^2=0
a^3*t^2 -b^2*t -4a=0
Очевидно , что b^2 *t делится на a , но поскольку a и b взаимно простые, то t делится на a.
t=m*a m- натуральное число
a^5 *m^2 -a*b^2*m -4a=0
a^4 *m^2 -b^2*m -4=0
m*( a^4*m -b^2)=4
То есть : m=1 ; 2 ; 4
1) m=1
a^4 -b^2=4
(a^2 -b)*(a^2 +b)=4
Заметим что :
(a^2 -b ) + (a^2+b)=2a^2 - четно , а значит либо обе скобки четны , либо обе нечетны , но те левая часть делится на 4 , то обе четны .
То есть :
a^2-b=a^2+b=+-2
2a^2=+-4
a^2=2
a= sqrt(2) - нецелое число .
Вывод : m=1 не подходит.
2) m=4
4*a^4 -b^2 =1
(2*a^2 -b)*(2*a^2+b)=1
2a^2-b=2a^2+b=+-1
4*a^2=+-2
a^2= 1/2
a=1/sqrt(2) - нецелое число.
3) Основной случай : m=2
2*a^4 -b^2=2
2*(a^4 -1)=b^2
Рассуждения о полных квадратах тут не совсем работают из за назойливой двойки слева. Чтобы от неё избавится ,применим следующий приём:
b^2 - чётно , а значит b так же чётно , то b^2 делится на 4 , а значит:
a^4 -1 четно , а значит a^4 нечетно.
a=2*k-1 k- натуральное число.
2*( a^2-1)*(a^2+1)=b^2
a^2=4k^2-4k+1
2*(4k^2-4k)*(4k^2-4k+2)=b^2
16 * k *(k-1) * ( 2* k*(k-1) +1)=b^2
b^2 делится на 16 , а значит b делится на 4.
b=4*n n- натуральное число
Так же сделаем замену: k*(k-1)=k^2-k =s - целое неотрицательное число.
s*(2s+1)=n^2 , теперь когда мы избавились от осложняющих ситуацию степеней двоек , можно уже начать рассуждать о взаимной простоте.
Заметим , что при k>1
k^2-2k+1 < k^2-k<k^2
(k-1)^2<k^2-k <k^2
То есть s находится между двумя соседними квадратами , а значит s не является полным квадратом.
s*(2s+1)=n^2
Тогда если s не полный квадрат , то и 2s+1 не полный квадрат.
Очевидно , что при s>0 s и 2s+1 взаимно простые. Действительно , если s делится на некоторое простое число p , то 2*s так же делится на p , но тогда 2s+1 не делится на p.
Тк s не является полным квадратом , то оно представляется в виде произведений степеней простых чисел , причём хотя бы одно простое число возведено в нечетную степень .
Для 2s+1 ситуация аналогична и в ее состав входят простые множители отличные от s. Таким образом
s*(2s+1) неизбежно содержит хотя бы два простых числа возведённых в нечетную степень. Вывод:
s*(2s+1) не является полным квадратом при s>0
Пусть s=0 , но тогда b=0 , то y=0 что не является натуральным числом.
Вывод: уравнение не имеет решений в натуральных числах.
P.S Скажу теперь ,почему нельзя рассуждать про квадраты в выражении: (обязательно кто нибудь спросит)
2*(a^4-1)=b^2
Безусловно и понятно , что a^4 -1 (при a >1) не полный квадрат и казалось бы это значит , что 2*(a^4-1) сразу же не является полным квадратом. Но на самом деле это так сразу далеко не очевидно! Ведь разложение на простые четного числа a^4 -1 ,не являющего квадратом , может содержать нечетную степень двойки , а все остальные степени простых чисел буду четны . В этом смысле все таки остаётся вероятность ,что 2*(a^4-1) может быть полным квадратом.
Кому то может показаться ,что простая двойка никак не может осложнить жизнь , но это большое заблуждение!!!