Question

1 + sinx - cos5x - sin7x = 2$cos^{2}$ $\frac{3}{2}$x


Заранее спасибо большое за решение.

Answer 1

В правой части уравнения применим формулу понижения степени.

$1+\sin x-\cos 5x-\sin 7x=2\cdot \dfrac{1+\cos (2\cdot\frac{3}{2}x)}{2}\\ \\ 1+\sin x-\cos 5x-\sin 7x=1+\cos 3x\\ \\ \sin x-\cos 5x-\sin 7x-\cos 3x=0$

Первое слагаемое сгруппируем с третьим, а второе слагаемое с четвертым слагаемом и выполним переход от суммы к произведению.

$2\sin\dfrac{x-7x}{2}\cos\dfrac{x+7x}{2}-2\cos\dfrac{5x+3x}{2}\cos\dfrac{5x-3x}{2}=0\\ \\ -2\sin 3x\cos 4x-2\cos 4x\cos x=0\\ \\ -2\cos4x(\sin 3x+\cos x)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$\cos 4x=0\\ \\ 4x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~\Rightarrow~~~\boldsymbol{x_1=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{4},n \in \mathbb{Z}}$

$\sin 3x+\cos x=0\\ \\ \sin3x+\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\\ \\ 2\sin\dfrac{3x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\cos\dfrac{3x-\frac{\pi}{2}+x}{2}=0\\ \\ 2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\ \\ \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0\end{array}\right~\Rightarrow~\left[\begin{array}{ccc}x+\frac{\pi}{4}=\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}\end{array}\right$

$\Rightarrow~~\boldsymbol{\left[\begin{array}{ccc}x_2=-\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x_3=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z}\end{array}\right}$