Question

Для любого ли натурального числа a существует неотрицательное целое k, для которого существует неотрицательное целое s такое, чтобы выполнялось неравенство на фото?

Answer 1

Несколько шагов, которые я не расписываю:

1) нацепление двоичного логарифма на все 3 куска неравенства

2) преобразование логарифма произведения в сумму логарифмов в левой и правой части, с последующим вычитанием логарифма от 5^к из всех 3 частей

3) подведение всех 3 частей к степени двойки

получаем такое неравенство:

а < 2^(s-k*log_2(5)) < a+1

Теперь сильное утверждение: любое число можно приблизить сколь угодно сильно, используя лишь s-k*log_2(5), увеличивая s и k до нужного порядка.

Тогда мы всегда можем найти такие k и s, что б двойка в оной степени подходила под наше неравенство, ибо мы можем приблизить любую действительную степень, значит и любое число после возведения двойки в эту степень.