Question

Помогите решить параметр.

Answer 1

Первое уравнение можно записать иначе: $(x-1)^2-(y+2)^2=0 \Leftrightarrow (x-y-3)(x+y+1)=0$ - это уравнение задает две прямые y=x-3 и y=-x-1;

Второе уравнение примет вид: $(x-a-1)^2+(y-a)^2=(2a-1)^2$ - окружность с центром в точке (a+1, a) и радиусом |2a-1|;

Значит, центр окружности лежит на прямой y=x-1. Рассмотрим два случая:

Окружность касается прямой x-3, но не касается прямой -x-1.

Расстояние между прямыми x-1 и x-3 постоянно и равно $\sqrt{2}$.

Значит, $|2a-1|=\sqrt{2} \Leftrightarrow a_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{2}+1}{2}$.

(потом разберемся какие значение подходят)

Теперь рассмотрим случай касания окружности с прямой -x-1. Прямые x-1 и -x-1 перпендикулярны, значит точка касания будет находится в их пересечении, т.е. в (0, -1). Расстояние до этой точки от точки с абсциссой x, которая лежит на x-1 можно вычислить по формуле:  

$\sqrt{(x-0)^2+(x-1-(-1))^2}=|x|\sqrt{2}$. Итак, $|2a-1|=|a+1|\sqrt{2}$.

Решая, получаем $a_{3,4}=\frac{4\pm3\sqrt{2}}{2}$

Теперь видим, что $a_{3}>a_{1}>a_{4}>a_{2}$

При этом множество окружностей симметрично относительно a=0.5.

Значит, подходят те значения, которые ближе всего к 0.5.

Ответ: $a\in\{\frac{4-3\sqrt{2}}{2}\}\cup\{\frac{1+\sqrt{2}}{2}\}$