Question

Найдите те решения уравнения, для которых определено выржаение g(x):

sin6x*cos6x=cos($\frac{\pi }{2}$ -4x), g(x)=tg (4x+ $\frac{\pi }{2}$ )

Answer 1

В левой части уравнения применим формулу синуса двойного угла, а в правой части по формуле приведения

$0.5\sin 12x=\sin 4x\\ \\ \sin 12x=2\sin4x\\ \\ \sin 12x-\sin 4x-\sin 4x=0\\ \\ 2\sin\dfrac{12x-4x}{2}\cos\dfrac{12x+4x}{2}-\sin 4x=0\\ \\ 2\sin4x\cos8x-\sin 4x=0\\ \\ \sin4x(2\cos 8x-1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$\sin 4x=0$

$2\cos 8x-1=0\\ \\ \cos 8x=\dfrac{1}{2}\\ \\ 1-2\sin^24x=\dfrac{1}{2}\\ \\ \sin^24x=\dfrac{1}{4}$

далее воспользуемся тождеством ${\rm ctg}^2 \alpha+1=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$, получим

${\rm ctg}^24x+1=4\\ \\ {\rm ctg}^24x=3\\ \\ {\rm tg}^2\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)=3\\ \\ {\rm tg}\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)=\pm\sqrt{3}$