Question

Найдите наибольшее значение суммы , где решение системы x + y , где (x;y) решение системы {(х2=3x+y и y2=3y+x

Answer 1

Ответ:

8

Объяснение:

Сложим два равенства, получим уравнение:

$x^2 + y^2 = 4(x+y)$

Раскроем скобки справа, перенесем влево и дополним до полных квадратов относительно х и у:

$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8$

Выражаем x через y:

$(y-2)^2 = 8 - (x-2)^2 \\y = 2 + \sqrt{8 - (x-2)^2}$

(вообще, правильнее было бы рассмотреть два случая: когда перед корнем стоит знак плюс, что мы и делаем, и когда перед ним стоит знак минус, но нас интересует максимальное значение, логичнее было бы рассмотреть только положительное значение)

Наша целевая функция, в которой будем находить максимум, имеет вид:

$x + 2 + \sqrt{8 - (x-2)^2} = S$, где S - сумма решений системы уравнений.

Найдем производную по х, приравняем к нулю эту функцию

Получим

$1 - \frac{x-2}{\sqrt{8-(x-2)^2 }} = 0 \\x - 2 = \sqrt{8 - (x-2)^2}\\2(x-2)^2 = 8\\(x-2)^2 = 4\\x_1 = 0;\\x_2 = 4$

Таким образом, мы сможем найти y: y₁ = 4; y₂ = 4

Стало быть, только в точке (4;4) достигается этот максимум суммы, которая равна 4+4 = 8

Answer 2

Ответ: 8

Объяснение: вычтем из ур-ия 1  ур-ие 2 ,получим

х²-у²=3х+у-3у-х , х²-у²=2(х-у),    (х²-у²)-2(х-у)=0, (х-у)(х+у-2)=0 и имеем 2случая: 1)х-у=0 т.е.х=у

              2)х+у-2=0, т.е.у=2-х.

1){y=x,x²=3x+x⇔{y=x,x²-4x=0⇔{y=x,x=0 илих=4.

(0;0),(4;4)---- решения системы (х1+у1=0; х2+у2=4+4=8

2){y=2-x, x²=3x+2-x;{y=2-x, x²-2x-2=0;{y=2-x, x1=1+√3,x2=1-√3

здесь можно по т.Виета сразу найти сумму х+у решений системы

х1+у1=2 и х2+у2=2