Question

Пожалуйста решите и объясните

Answer 1

Возводим обе части уравнения до квадрата, получим

$x^2+2\cdot \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}+\dfrac{x^2}{x^2-1}=\dfrac{35^2}{12^2}\\ \\ \dfrac{x^4}{x^2-1}+2\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{35^2}{12^2}~~\Rightarrow~~\dfrac{x^4}{x^2-1}+2\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}+1=\dfrac{35^2}{12^2}+1\\ \\ \left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}+1\right)^2=\dfrac{1369}{144}\\ \\ \\ \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}+1=\pm\dfrac{37}{12}$

Решаем уравнения отдельно.

$\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}+1=\dfrac{37}{12}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{25}{12}~~~\Rightarrow~~ 12x^2=25\sqrt{x^2-1}\\ \\ 12(\sqrt{x^2-1})^2-25\sqrt{x^2-1}+12=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно $\sqrt{x^2-1}$

$\sqrt{x^2-1}=\dfrac{3}{4}~~\Rightarrow~~ x^2-1=\dfrac{9}{16}~~~\Rightarrow~~~ x=\pm\dfrac{5}{4}\\ \\ \sqrt{x^2-1}=\dfrac{4}{3}~~~\Rightarrow~~~ x^2-1=\dfrac{16}{9}~~\Rightarrow~~~ x=\pm\dfrac{5}{3}$

Аналогично, $\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}+1=-\dfrac{37}{12}$

$\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=-\dfrac{37}{12}-1$

Это уравнение решений не имеет, так как левая часть неравенства положительно на области определения, а правая - отрицательная.

Если подставить найденные корни, получим решения x = 5/4 и

x = 5/3 данного уравнения