Question

Пожалуйста, помогите решить задание 18 на фото?

Answer 1

Ответ: a=1/2

Подробное решение: в закрепе. Извините за аналитический подход, не смог обойтись без него.

Answer 2

Введем систему координат x, y. Тогда $x^2+y^2=a$ - уравнение, задающее окружность, радиуса $\sqrt{a},\; a\geq 0$, с центром в начале координат.

Из второго уравнения следует $\pi x+\pi y=\pi k,\; k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow y=k-x,\; k\in\mathbb{Z}$. То есть на графике это серия прямых. Одна из прямых проходит через начало координат. Это уже два решения (случай $a=0$ не имеет смысла рассматривать). Остальные прямые, пересекающие окружность, симметричны относительно первой прямой, а, значит, решений будет 6. Единственная возможность иметь ровно 4 решения - иметь две прямые, касающиеся окружности. Поскольку прямые имеют наклон 45 гр. к оси абсцисс, то очень просто найти координаты пересечения этих прямых с осью ОХ. Сделав это, получаем $k-\sqrt{2a}=0 \Leftrightarrow a=\frac{k^2}{2}$; Значит искомое множество A можно задать так: $A\{a|\;a=2n^2,\; n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\}$