Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.
Пусть K— точка пересечения этой плоскости с ребром SC. Найдите угол между прямой BK и плоскостью ASB, если AB:AS=1:2.
Ответы
В правильной шестиугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна стороне основания.
Примем ребро основания за 1, боковое ребро - 2.
Находим высоту пирамиды: Н = √(2² - 1²) = √3.
Половина высоты равна √3/2.
Расстояние от ребра АВ до высоты пирамиды равно 1*cos 30° = √3/2.
То есть секущая плоскость (а с ней и отрезок ВК) имеют угол наклона к основанию 45 градусов.
Сделаем осевое сечение пирамиды перпендикулярно ребру АВ.
В сечении равнобедренный треугольник PST, боковые стороны которого PS и ST равны апофеме А.
А= √((√3/2)² + Н²) = √((3/4+ 3) = √(15/4) = √15/2.
Если отрезок ВК перенести точкой В в точку Р, то угол SPM и будет искомым углом φ между прямой BK и плоскостью ASB.
Отрезок РМ = (√3/2)*√2 = √6/2.
cos φ = )(6/4) + (15/4) - (3/4))/(2*(√6/2)*(√15/2)) = 3√10/10.
φ = arc cos(3√10/10) = 0,32175 радиан = 18,435 градуса.
Векторное решение подтверждает этот результат.
Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n
Скалярное произведение = 0,75
s = {l; m; n} 0,433012702 0,75 0,866025404
Модуль =√1,5 = 1,224744871.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C
sin fi = 0,316227766
Ax + By + Cz + D = 0
0,866025404 1,5 -0,866025404 Модуль 1,936491673
fi = 0,321750554 радиан
= 18,43494882 градус .