Question

последовательность
$\{x_n \}$
определяется рекуррентным соотношением
$x_{n + 2} = \frac{x_n + x_{n + 1} }{2}$
при n≥1 и начальным условием
$x_1 = a \: \: and \: \: x_2 = b$
Найдите
$\lim \limits _{n \rightarrow \infty}x_ n$
​

Answer 1

Введем координатную прямую с началом в точке 0, точки a и b (пусть b>a) и кузнечика, сидящего в точке 0. Каждый раз он будет прыгать в точку, соответствующую следующему члену. Сначала он прыгнет в середину отрезка (a, b). Затем он прыгнет в середину правой середины, затем в середину левой середины и так далее. Пусть $b-a=s$, тогда модуль длины n-ого прыжка кузнечика будет равен $\frac{s}{2^n}$; Теперь можем считать: $a+\frac{s}{2}+\underbrace{\frac{s}{4}-\frac{s}{8}}_{\frac{s}{8} }+\underbrace{\frac{s}{16}-\frac{s}{32}}_{\frac{s}{32}}+...=a+\frac{s}{2}+s\times\frac{\frac{1}{8} }{1-\frac{1}{4} }=a+\frac{s}{2}+\frac{s}{6}$; В итоге: $a+\frac{s}{2}+\frac{s}{6}=a+\frac{b-a}{2}+\frac{b-a}{6}=\frac{a+2b}{3}$. Если же a>b, то предел равен $\frac{b+2a}{3}$