Question

Докажите, что значение выражения
$\frac{3}{a - 2} + \frac{3a + 12}{25 - {a}^{2} } \div ( \frac{2a - 1}{ {a}^{2} - 25 } - \frac{a - 5}{2 {a}^{2} + 9a - 5 } )$
не зависит от значения переменной.​

Answer 1

Ответ:  $-2$ .

Объяснение:

$\frac{3}{a-2}+\frac{3a+12}{25-a^2}:\Big (\frac{2a-1}{a^2-25}-\frac{a-5}{2a^2+9a-5}\Big )=\\\\=\frac{3}{a-2}+\frac{3(a+4)}{-(a-5)(a+5)}:\Big (\frac{2a-1}{(a-5)(a+5)}-\frac{a-5}{2(a+5)(a-\frac{1}{2})}\Big )=\\\\=\frac{3}{a-2}-\frac{3(a+4)}{(a-5)(a+5)}:\Big (\frac{2a-1}{(a-5)(a+5)}-\frac{a-5}{(a+5)(2a-1)}\Big )=\\\\=\frac{3}{a-2}-\frac{3(a+4)}{(a-5)(a+5)}:\frac{(2a-1)^2-(a-5)^2}{(a-5)(a+5)(2a-1)}=\\\\=\frac{3}{a-2}-\frac{3(a+4)}{(a-5)(a+5)}:\frac{4a^2-4a+1-a^2+10a-25}{(a-5)(a+5)(2a-1)}=\\\\=\frac{3}{a-2}-\frac{3(a+4)}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{(a-5)(a+5)(2a-1)}{3a^2+6a-24}=\frac{3}{a-2}-\frac{3(a+4)(2a-1)}{3(a-2)(a+4)}=\\\\=\frac{3}{a-2}-\frac{2a-1}{a-2}=\frac{3-2a+1}{a-2}=\frac{4-2a}{a-2}=\frac{-2(a-2)}{a-2}=-2$

$P.S.\; \; \; 2a^2+9a-5=0\; \; ,\; \; D=121\; ,\; \; a_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{4}\; ,\\\\a_1=-5\; ,\; \; a_2=\frac{1}{2}\; \; \; \to \\\\2a^2+9a-5=2(a+5)(a-\frac{1}{2})$

Answer 2

Ответ:  $-2$ .

Решение:

$\displaystyle \frac{3}{a-2} + \frac{3a+12}{25-a^2} :(\frac{2a-1}{a^2-25} -\frac{a-5}{2a^2+9a-5} ) = \\\\= \frac{3}{a-2} + \frac{3a+12}{25-a^2} :(\frac{2a-1}{(a-5)(a+5)} -\frac{a-5}{2(a+5)(a-\frac{1}{2}) } ) = \\\\= \frac{3}{a-2} + \frac{3a+12}{25-a^2} :\frac{(2a-1)^2-(a-5)^2}{(a-5)(a+5)(2a-1)} =\\\\=\frac{3}{a-2} + \frac{3a+12}{25-a^2}*\frac{(a^2-25)(2a-1)}{((2a-1)+(a-5))((2a-1)-(a-5))} =\\\\= \frac{3}{a-2} + \frac{3(a+4)}{25-a^2}*\frac{(25-a^2)(1-2a)}{3(a-2)(a+4)}=$

$\displaystyle \frac{3}{a-2} + \frac{3(a+4)}{25-a^2}*\frac{(25-a^2)(1-2a)}{3(a-2)(a+4)}=\\\\= \frac{3}{a-2} + \frac{1-2a}{a-2} =\frac{4-2a}{a-2} =-\frac{2a-4}{a-2} = -\frac{2(a-2)}{a-2} = -2.$