Question

13. n, Ae N
78!+ 79! = A * 10^n
max(n) = ?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18
E) 19
​

Answer 1

$78!+79!=78!+78!\cdot 79=78!(1+79)=78!\cdot 80$

По свойству степеней $10^n=(2\cdot 5)^n=2^n\cdot 5^n$ и 2,5, - простые.

Подсчитаем сколько раз входит число 2 в факториал 78

$S=[\dfrac{78}{2}]+[\dfrac{78}{4}]+[\dfrac{78}{8}]+[\dfrac{78}{16}]+[\dfrac{78}{32}]+[\dfrac{78}{64}]=39+19+9+4+2+1=74$

То есть, в числе 78! двойка встречается 74 раза.

Подсчитаем сколько раз входит число 5 в факториал 78

$S=[\dfrac{78}{5}]+[\dfrac{78}{25}]=15+3=18$

В числе 78! пятерка встречается 18 раз.

Таким образом, $78!\cdot 80=5^{18}\cdot 2^{74}\cdot A\cdot 8\cdot 10=10^{19}\cdot A$

$\max (n)=19$  — ответ