Question

Упростите. Подробнее пожалуйста

Answer 1

По формуле дополнительного угла

$a\sin (kx)\pm b\cos (kx)=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(kx\pm\arcsin\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

$\displaystyle \dfrac{\sin \alpha+\cos\alpha}{\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)}=\frac{\sqrt{1^2+1^2}\sin\left(\alpha+\arcsin\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)}{\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\right)}=\frac{\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}=1$

Answer 2

1) Из формул суммы и разности тригонометрических ф-ций:

sinα+cosα=√2cos(π/4-α) ⇒

(sinα+cosα)/(√2cos(π/4-α))=1.

2) ИЛИ по формуле косинуса разности, это проще:

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ; cos(π/4-α)=cos(π/4)cosα+sin(π/4)sinα=

(√2/2)*(cosα+sinα);

sinα+cosα=cos(π/4-α)/(√2/2)=cos(π/4-α)*√2 ⇒

(sinα+cosα)/(√2cos(π/4-α))=1.