Question

Докажите, что число p^2-1 делится на 24 если p простое число больше 3

Answer 1

Предположим, что $p^2-1~\vdots ~24$. Тогда и $p(p^2-1)=(p-1)p(p+1)~\vdots ~24=2^3\cdot 3$. Проверим последнее утверждение.

Данное произведение — это произведение трёх последовательных чисел, значит, один из множителей обязательно делится на 3. Так как p простое и больше 3, p-1 и p+1 чётны. Докажем, что произведение p-1 = 2k и p+1 = 2k+2 (k ∈ N) делится на 8:

$2k(2k+2)=4k(k+1)$. Оно, очевидно, делится на 4. Также оно делится ещё на 2, так как одно из чисел k и k+1 обязательно чётное.

$p(p^2-1)~\vdots~3,~p^2-1~\vdots~8\Rightarrow p(p^2-1)~\vdots~24$.

Однако из этого не обязательно следует, что и $p^2-1~\vdots~24$. Но p > 3 и p — простое, значит, p не содержит множителей числа 24, то есть на 24 может делиться только $p^2-1$, что и требовалось доказать.