Question

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений(фото в закрепе) имеет ровно 2 различных решения. Пожалуйста с объяснением. Ответ: а€(-6;1] в объединении с {8} в объединении с [9;10)

Answer 1

Рассмотрим первое уравнение:

$\displaystyle \frac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\\frac{(y^2-y-6-xy+3x)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\\frac{((y+2)(y-3)-x(y-3))\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\\frac{(y-3)(y+2-x)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (то есть каждый множитель может быть равным нулю), а знаменатель не равен нулю:

$\left\{\begin{gathered}\left[\begin{gathered}y=3\\y=x-2\\x=-2\end{gathered}\right.\\-2\leq x<6\end{gathered}\right.$

Ограничение на x взялось из-за корней. Теперь достаточно построить каждый график совокупности в заданных пределах.

Второе уравнение представляет собой прямую, смещённую по оси Oy.

На рисунке красным цветом начерчен график первого уравнения, зелёным — вариации второго. По рисунку видно, что система имеет два решения, если прямая проходит через точку (-2; -4) (не включая такое значение a) и так пробегает до точки (-2; 3), проходит через точку (5; 3), проходит через точку (6; 3) и так пробегает до точки (6; 4) (не включая).

Найдём ключевые значения параметра:

• В точке (-2; -4): -2-4-a = 0 ⇔ a = -6;
• В точке (-2; 3): -2+3-a = 0 ⇔ a = 1;
• В точке (5; 3): 5+3-a = 0 ⇔ a = 8;
• В точке (6; 3): 6+3-a = 0 ⇔ a = 9;
• В точке (6; 4): 6+4-a = 0 ⇔ a = 10.

Учитывая прошлые рассуждения, получаем ответ.

Ответ: $(-6;1]\cup\{8\}\cup[9;10)$