Question

Основание пирамиды SABCD— параллелограмм ABCD.
Пусть K— середина ребра SD,M— середина ребра AB, а пирамида SABCD правильная, причём все её рёбра равны. Найдите угол между прямыми AK и SM

Answer 1

Если все рёбра пирамиды равны, то в основании не просто параллелограмм, а квадрат.

Поместим её в прямоугольную систему координат, вершиной А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.

Для удобства (из за кратности) примем длину ребра 4 ед.

Определяем координаты заданных точек.

Высоту пирамиды Н определяем по треугольнику сечения через противоположные рёбра. Диагональ основания равна 4√2.

Н = √(4² - (4√2/2)²) = √(16 - 8) = √8 = 2√2.

А(0; 0; 0), К(3; 1; √2).  

Вектор АК(3; 1; √2), модуль √(9 + 1 + 2) = √12 = 2√3.

S(2; 2; 2√2), M(0; 2; 0).

Вектор SM(-2; 0; -2√2), модуль √(4 + 0 + 8) = √12 = 2√3.

Находим угол между прямыми AK и SM.

cos α = |(-6 + 0 + (-4)|/(2√3*2√3) = 10/12 = 5/6.

α = arc cos(5/6) = 0,5857  радиан = 33,5573 градуса.