Question

В треугольнике авс проведена медиана bd, угол авс равен 135 градусов. окружность радиуса r, описанная около треугольника bcd, касается прямой ab. найти площадь треугольника abc

Answer 1

Поскольку BD - медиана треугольника АВС, то AD = CD и пусть

AD = CD = x, тогда по теореме о секущей и касательной, имеем

$AB^2=AD\cdot AC~~~\Rightarrow~ AB=\sqrt{2x\cdot x}=x\sqrt{2}$. По теореме

синусов $\dfrac{AC}{\sin135^\circ}=\dfrac{AB}{\sin \angle C}~~\Rightarrow~~\sin\angle C=\dfrac{x\sqrt{2}\cdot1/\sqrt{2}}{2x}=\dfrac{1}{2}$

Откуда угол С = 30 градусам. По теореме синусов из треугольника DBC, имеем что $\dfrac{BD}{\sin \angle C}=2r~~\Rightarrow~~BD=2r\sin\angle C=r$

$\angle C=\angle DBA$ (оба угла измеряются половинной дуги BD) и ∠A у треугольников ABD и АВС общий, следовательно, треугольники ABD и ABC подобные, из подобия треугольников следует, что $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AC}~~\Rightarrow~~\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, тогда

$\dfrac{r}{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}~~~\Rightarrow~~BC=r\sqrt{2}$

Далее по теореме косинусов из треугольника ABC

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos 135^\circ\\ \\ (2x)^2=(x\sqrt{2})^2+(r\sqrt{2})^2-2\cdot x\sqrt{2}\cdot r\sqrt{2}\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})\\ \\ 4x^2=2x^2+2r^2+2xr\sqrt{2}\\ \\ x^2-xr\sqrt{2}-r^2=0\\ \\ D=2r^2+4r^2=6r^2;~~~\sqrt{D}=r\sqrt{6}\\ \\ x=\dfrac{r\sqrt{2}\pm r\sqrt{6}}{2}$

Так как x > 0, то нам подходит $x=\dfrac{r\sqrt{2}+ r\sqrt{6}}{2}$

Тогда $AB=x\sqrt{2}=\dfrac{r\sqrt{2}+ r\sqrt{6}}{2}\cdot \sqrt{2}=r(1+\sqrt{3})$

Площадь треугольника ABC: $S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\sin135^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot r(1+\sqrt{3})\cdot r\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{r^2(1+\sqrt{3})}{2}$ кв. ед.