Question

найти все решения уравнения в натуральных числах
$\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} = 1$
при x\leq y\leq z

Answer 1

Ответ:

$(x,y,z)\in\{(2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)\}$

Пошаговое объяснение:

$x\leqslant y\leqslant z\Rightarrow \dfrac1x\geqslant\dfrac1y\geqslant\dfrac1z\Rightarrow \dfrac3x\geqslant\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1\\\boxed{x\leqslant 3}$

Перебираем возможные x:

1) x = 1 - очевидно, не подходит

2) x = 2

$\dfrac12+\dfrac1y+\dfrac1z=1\\\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac12\\\dfrac2y\geqslant\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac12\\\boxed{y\leqslant 4}$

y = 2, 3 или 4. Подставляя возможные y, находим, что (x, y, z) = (2, 3, 6) или (2, 4, 4)

3) x = 3

$\dfrac13+\dfrac1y+\dfrac1z=1\\\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac23\\\dfrac2y\geqslant\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac23\\\boxed{y\leqslant 3}$

Единственное возможное значение y - это y = 3. Тогда z = 3.