Question

98 БАЛЛОВ! Задача меньше, чем в две строчки! Заранее спасибо! Пожалуйста, с примером или доказательством!
Можно ли разрезать правильный треугольник на ПЯТЬ меньших правильных треугольника?

Answer 1

Ответ: нет

Заметим, что на стороне разрезанного треугольника ABC должна быть хотя бы одна вершина меньших треугольников, отличная от A, B и C.

Пойдем от противного. Допустим, что есть сторона, не содержащая таких вершин. Но тогда получается, что она принадлежит какому-то из меньших треугольников. Т.к. меньший треугольник тоже правильный, получим, что он совпадает с ABC. Противоречие.

А значит на стороне треугольника ABC есть хотя бы одна такая точка.

Без нарушения общности допустим, что это точка E∈AC.

Далее заметим, что, т.к. у правильного треугольника все углы равны 60°, а развернутый угол CEA = 180°=3*60°, то эта вершина принадлежит трем меньшим треугольникам.

Отложим луч EE', E'∈AB, ∠AEE'=60°. Тогда получим, что EE'B=60°+60°=120°(как внешний для треугольника AEE')=EE'C.

Аналогичными рассуждениями строим отрезки ED и E'D', ∠EE'D'=∠E'ED=60°, D∈BC, D'∈BC. Точку пересечения ED и E'D', если она есть, обозначим через H.

Здесь возможны 3 случая (см. приложение к ответу):

1. Получили 5 частей, из которых 2 - не треугольники. А значит в этом случае разрезать нельзя.
2. Получили 4 правильных треугольника. Значит один из них нужно разрезать на 2 правильных. Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям выше про треугольник ABC, для любого из этих треугольников, понимаем, что это невозможно.  А значит в этом случае разрезать нельзя.
3. Получили 3 правильных треугольника и одну трапецию. Очевидно, что ее надо разрезать на 2 правильных треугольника. Т.к. EE'D'=60°, то очевидно, что для разреза нам необходимо построить отрезок XX', X'∈E'D', X∈EE' (X∉ED, потому что в этом случае получаем 2 четырехугольника, и уже после этого шага всего 5 фигур, а значит разрезать их на более мелкие части не получится), ∠E'X'X=∠X'XE'=60°. Однако заметим, что ED||XX' (∠E'ED=60°, ∠X'XE'=60°, EE' - секущая), а значит после разреза получим треугольник и фигуру, которая не треугольник (есть 2 параллельные стороны), и в сумме уже 5 фигур, а значит фигуру разрезать на более мелкие уже нельзя. А значит в этом случае разрезать нельзя.

А значит удовлетворяющие условию задачи разрезания выполнить нельзя.