Предмет: Алгебра, автор: elvirasalavatova

Помогите найти одз, пожалуйста.

Приложения:

LFP: найти ведь нужно не ОДЗ значения переменной (х)... а значения переменной (у)
elvirasalavatova: Да,да, извините

Ответы

Автор ответа: d3782741
1

y=\left(1+\mathrm{ctg}^2\, x\right)\sin^2 x+\dfrac{2\sin(2x)}{\cos x}=\bigskip\\=\left(1+\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right)\sin^2 x+\dfrac{2\sin(2x)}{\cos x}

  • Сначала найдем область определения функции

\begin{cases}\sin x\neq 0\medskip\\\cos x\neq 0\end{cases}\!\!\!\!\!\!\iff x\neq\dfrac{\pi m}{2}\, ,\, m\in\mathbb{Z}

  • Теперь равносильно (т.е. с учётом области определения) перейдем к новой функции

y=\sin^2 x+\dfrac{\cos^2 x\cdot \sin^2 x}{\sin^2 x}+\dfrac{4\cos x\sin x}{\cos x}=1+4\sin x

Поскольку изначально у нас есть ограничения на x, а в полученной функции они отсутствуют, то, подставив запрещённые значения x в новую функцию, найдём выколотые точки

m=0\implies x=0\medskip\\m=1\implies x=\dfrac{\pi}{2}\medskip\\m=2\implies x=\pi\medskip\\m=3\implies x=\dfrac{3\pi}{2}\medskip\\m=4\implies x=2\pi=0+2\pi

Т.к. мы прошли через всю единичную окружность, то значения функции \sin t начнут повторяться, следовательно, мы нашли все значения выражения \sin\left(\dfrac{\pi m}{2}\right),\, m\in\mathbb{Z}

(Очевидно, что, выбрав отрицательное направление, мы обнаружим те же самые значения)

m=0\implies\sin0=0\bigskip\\m=1\implies\sin\dfrac{\pi}{2}=1\bigskip\\m=2\implies\sin\pi=0\bigskip\\m=3\implies\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1

Значит, из множества значений новой функции нужно выколоть точки

y=1+0=1\medskip\\y=1+4=5\medskip\\y=1-4=-3

  • Найдем множество значений новой функции

-1\leq\sin x\leq 1\iff -4\leq 4\sin x\leq 4\iff -3\leq 1+4\sin x\leq 5\iff\medskip\\\iff y\in\left[-3;5\right]

  • Выколем лишние точки

\begin{cases}y\neq 1\medskip\\y\neq 5\medskip\\ y\neq -3\medskip\\y\in\left[-3;5\right]\end{cases}\!\!\!\!\!\!\iff y\in\left(-3;1\right)\cup\left(1;5\right)

Ответ. D

Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: amaliya5064
Предмет: Литература, автор: Lolkim
Предмет: Математика, автор: zhostok1