Question

только (25)
/////////////​

Answer 1

$x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\iff x^2-\left(y+z\right)x+y^2+z^2-yz=0$

Решим данное уравнение относительно $x$

$x_{1{,}2}=\dfrac{y+z\pm\sqrt{y^2+2yz+z^2-4y^2-4z^2+4yz}}{2}=\bigskip\\=\dfrac{y+z\pm\sqrt{-3y^2+6yz-3z^2}}{2}=\bigskip\\=\dfrac{y+z\pm\sqrt{-\left(\left(\sqrt{3}y\right)^2-2\cdot\sqrt{3}y\cdot\sqrt{3}z+\left(\sqrt{3}z\right)^2\right)}}{2}=\bigskip\\=\dfrac{y+z\pm\sqrt{-\left(\sqrt{3}y-\sqrt{3}z\right)^2}}{2}$

Т.к. из условия задачи мы должны иметь хотя бы одно значение $x$, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно

$-\left(\sqrt{3}y-\sqrt{3}z\right)^2\geq 0~\Big|:\left(-1\right)\medskip\\\left(\sqrt{3}y-\sqrt{3}z\right)^2\leq 0$

Поскольку квадрат любого числа - число неотрицательное, то неравенство выше равносильно равенству

$\left(\sqrt{3}y-\sqrt{3}z\right)^2=0\iff y=z$

Подставим наш результат в уравнение для $x$

$\begin{cases}y=z\medskip\\ x=\dfrac{z+z\pm 0}{2}=\dfrac{2z}{2}=z\end{cases}\!\!\!\!\!\!\!\!\iff x=y=z$

ч.т.д