Question

В N-ичной системе счисления число ABCABCобязательно делится на 7. При каком наименьшем N это возможно?

Answer 1

Ответ:  N = 10

Т.к. в N-ичной системе счисления присутствует число 7 (и, соответственно, цифра 7), то основание системы больше 7, т.е. N > 7.

$\frac{}{ABCABC} _N=(A*N^5+B*N^4+C*N^3+A*N^2+B*N^1+C*N^0)_{10}=(N^3+1)(A*N^2+B*N+C)_{10}$

Так как 7 - простое число, то надо рассмотреть 2 случая: 1) $(N^3+1)_{10}\:\vdots \: 7_{10}$ 2) $(A*N^2+B*N+C)_{10}\:\vdots \: 7_{10}$ ∀ цифр A, B, C < N

1) $N^3+1 \equiv 0\: (mod\: 7)\\ N^3 \equiv 6\: (mod\: 7)$

Представим N в виде x+7k, где k,x∈N∪{0}, x∈[0,6]. Подставим:

$(x+7k)^3 \equiv 6\: (mod\: 7)\\ (x^3+3*7x^2k+3*7^2xk^2+7^3k^3) \equiv 6\: (mod\: 7)\\ x^3 \equiv 6\: (mod\: 7)$

Последовательно подставляя все возможные значения x в полученное уравнение, получаем, что оно верно при x = 3, x = 5 и x = 6.

Получаем 3 серии решений: N = 3 + 7k, N = 5 + 7k, N = 6 + 7k, k∈N, откуда наименьшее N в данном случае, с учетом условия N > 7, равно 3 + 7 = 10

2) Так как утверждение должно быть верно для ∀ цифр A, B, C < N, то оно будет верно и для наборов (1, 0, 0) и (1, 0, 1).

Тогда: $\left \{ {{N^2 \equiv 0\: (mod\: 7)} \atop {N^2+1 \equiv 0\: (mod\: 7)}} \right. \Rightarrow \left \{ {{N^2 \equiv 0\: (mod\: 7)} \atop {N^2 \equiv 6\: (mod\: 7)}} \right.$

При этом $0\not\equiv 6\:(mod\:7)$. Значит система сравнений не имеет решений. А значит не существует такого N, чтобы условие выполнялось

Значит и ответом будет N = 10