Question

Найти неопределенные интегралы от рациональных дробей

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{(x+2)\, dx}{x^3-2x^2+2x}=\int \frac{(x+2)\, dx}{x\, (x^2-2x+2)}=I\\\\\frac{x+2}{x\, (x^2-2x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2}=\frac{A(x^2-2x+2)+(Bx+C)\, x}{x\, (x^2-2x+2)}\\\\x+2=Ax^2-2Ax+2A+Bx^2+Cx\\\\x=0:\; \; 2=2A\; ,\; \; A=1\; ,\\\\x^2\; |\; 0=A+B\; \; ,\; \; B=-A\; \; ,\; \; B=-1\\\\x\; |\; 1=C-2A\; ,\; \; C=1+2A=1+2=3\\\\I=\int \frac{dx}{x}+\int \frac{(-x+3)\, dx}{x^2-2x+2}=\int \frac{dx}{x}+\int \frac{(3-x)\, dx}{(x-1)^2+1}=[\; t=x-1\; ,\; dx=dt\; ]=$

$=ln|x|+\int \frac{(-t+2)\, dt}{t^2+1}=ln|x|-\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}+2\int \frac{dt}{t^2+1}=\\\\=ln|x|-\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|+2\cdot arctgt+C=\\\\=ln|x|-\frac{1}{2}\cdot ln|x^2-2x+2|+2\cdot arctg(x-1)+C\; .$

$2)\; \; \int \frac{(x^3+3x^2+5x+7)\, dx}{x^2+2}=\int (x+3+\frac{3x+1}{x^2+2})\, dx=\\\\=\int (x+3)\, dx+\frac{3}{2}\int \frac{2x\, dx}{x^2+2}+\int \frac{dx}{x^2+2}=\\\\=\frac{(x+3)^2}{2}+\frac{3}{2}\cdot ln|x^2+2|+\frac{1}{\sqrt2}\cdot arctg\frac{x}{\sqrt2}+C$