Question

Найдите наименьшее целое решение неравенства: Х^log Х по основанию 3>9Х

Answer 1

$x^{\log_3{x}}>9x$

Прологарифмируем обе части:

$\displaystyle\log_3{x^{\log_3{x}}}>\log_3{9x}\\\log_3{x}\cdot\log_3{x}>\log_3{9}+\log_3{x}\\\log_3^2{x}-\log_3{x}-2>0\\(\log_3{x}+1)(\log_3{x}-2)>0\\\left [ {{\log_3{x}<-1} \atop {\log_3{x}>2}} \right. \\\left [ {{0<x<\frac{1}{3}} \atop {x>9}} \right.$

$x\in(0; \dfrac{1}{3})\cup(9;+\infty)$

Наименьшее целое решение неравенства — x = 10.

Ответ: 10