Question

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2018.За один ход разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность.В результате многократного выполнен я таких действий на доске окажется записанным одно число. Может ли оно быть нулем?

Answer 1

Сумма всех чисел на доске равна $\frac{2018\times2019}{2}=1009\times2019$ то есть нечетна. Покажем, что четность суммы не меняется, то есть последнее число должно оказаться нечетным.

База: первым ходом стираются два числа. Так как их разность той же четности, что и их сумма, то четность суммы чисел не изменилась.

Переход: пусть после k ходов сумма нечетна. Покажем что следующим ходом мы не поменяем четность сумма. Но для этого достаточно применить рассуждения изложенные в базе. Значит через k+1 ход сумма чисел останется нечетной.

Так как 0 - число четное, а в итоге должно получиться нечетное число, то ответ на задачу отрицателен.

Ответ: нет