Question

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;3]
$f(x)=x^{3} -3x$

Answer 1

$f'(x)=3x^2-3$

Найдём нули производной:

$3x^2-3=0\\x^2-1=0\\x=\pm 1$

При $x\in(-\infty;-1]\cup [1;+\infty)$ производная неотрицательна, значит, на данном промежутке функция возрастает.

При $x\in (-1; 1)$ производная отрицательна, значит, на данном промежутке функция убывает.

Таким образом, точка минимума функции — x = 1. На отрезке [0; 3] функция принимает наименьшее значение именно в этой точке. Значит, наименьшее значение функции на заданном промежутке $f_{\min}=f(1)=1^3-3\cdot 1=-2$.

Ответ: -2