Question

Помогите пожалуйста, исследование функции, 38б. Срочно!

Answer 1

Дана функция у = (х² - 2х + 2)/(х - 1).

Полное исследование функций по схеме:

1. Область определения функции: х ∈ R, x ≠ 1.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: непрерывна кроме точки х = 1, где имеем разрыв функции и вертикальную асимптоту.

3. Точки пересечения функции с осями координат.

С осью Оу при х = 0. Подставим:

(0² - 2*0 + 2)/(0 - 1) = -2.

С осью Ох при у = 0.

Приравниваем числитель нулю:

х² - 2х + 2 = 0.    Д = 4 - 4*1*2 = -4. Нет корня.

График не пересекает ось Ох.

4. Четность, нечетность.  Сравним f(x) и f(-x).

f(-x) = (х² + 2х + 2)/(-х - 1) ≠ f(x),

f(-x) = -(х² + 2х + 2)/(х + 1) ≠ f(-x), значит, функция общего вида.

5. Периодичность - не периодичная.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Находим производную функции.

y' = (2x - 2)(x - 1) - 1* (x² - 2x + 2)/ (x - 1)² = (х² - 2x)/(x² - 1).

Приравняем нулю (достаточно числитель): х² - 2x = х(х - 2) = 0.

Отсюда имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =        -1          0        0,5        1            1,5          2           3

y' =      0,75      0          -3         -            -3          0        0,75.

Возрастает на промежутках (-∞; ; 0) и (2; +∞).

Убывает на промежутках (0; 1) и (1; 2).

Максимум в точке х = 0, минимум в точке х = 2.

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Вторая производная равна y'' = 2/(x - 1)³.

При х меньше 1 вторая производная отрицательна, график выпуклый, пр х больше 1 вторая производная положительна, график вогнутый.

Так как вторая производная не может быть равна 0, то точки перегиба нет.

8. Наклонные асимптоты.  Это прямая у = х - 1. Детали в приложении.

9. Построение графика.

Таблица точек:

x y

-2.0 -3.333

-1.5 -2.9

-1.0 -2.5

-0.5 -2.167

0 -2

0.5 -2.5

1.0 -

1.5 2.5

2.0 2

2.5 2.167

3.0 2.5

3.5 2.9

4.0 3.333.

Сам график в приложении.