Question

log 2 (3x+1) * log 0,5 (6x+2)<-6

Answer 1

По свойству логарифмов $\log_a(bc)=\log_a b+\log_ac$, представим второе слагаемое неравенства следующим образом:

$\log_{0.5}(2(3x+1))=\log_{0.5}2+\log_{0.5}(3x+1)=\log_{0.5}(3x+1)-1$

Мы получим

$\log_2(3x+1)\cdot \left[\log_{0.5}(3x+1)-1\right]<-6\\ \\ \log_{2}(3x+1)\cdot \log_{0.5}(3x+1)-\log_2(3x+1)+6<0$

По свойству логарифмов $\log_{0.5}(3x+1)=\log_{2^{-1}}(3x+1)=-\log_2(3x+1)$, тогда

$-\log_2^2(3x+1)-\log_2(3x+1)+6<0~~|\cdot (-1)\\ \\ \log_2^2(3x+1)+\log_2(3x+1)-6>0\\ \\ \left(\log_2(3x+1)+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}>0~~~\Rightarrow~~~ \left|\log_2(3x+1)+\dfrac{1}{2}\right|>\dfrac{5}{2}$

Следующее неравенство эквивалентно совокупности неравенств

$\left[\begin{array}{ccc}\log_2(3x+1)+\dfrac{1}{2}>\dfrac{5}{2}\\ \\ \log_2(3x+1)+\dfrac{1}{2}<-\dfrac{5}{2}\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~~\left[\begin{array}{ccc}\log_2(3x+1)>2\\ \\ \log_2(3x+1)<-3\end{array}\right~~\Rightarrow~\\\\ \\ \Rightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}3x+1>4\\ \\ 3x+1<\dfrac{1}{8}\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}x>1\\ \\ x<-\dfrac{7}{24}\end{array}\right$

x ∈ (-∞; -7/24) U (1; +∞).

ОДЗ неравенства: $\displaystyle \left \{ {{3x+1>0} \atop {6x+2>0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ 3x+1>0~~~\Rightarrow~~~ x>-\dfrac{1}{3}$

С учетом ОДЗ, получаем ответ $x \in \left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{7}{24}\right)\cup\left(1;+\infty\right).$