98 БАЛЛОВ! ЗАДАЧА ДЛЯ 5-7 КЛАССОВ!
Пожалуйста, с ПОДРОБНЫМ решением! Заранее спасибо!
Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?
Решение: ??????
Ответ: нет, нельзя.
Ответы
Возьмем 20 коробок. В первую положим по одной карточке каждого вида, во вторую положим карточку 0, в третью - карточку 1,... в одиннадцатую - карточку 9. Коробки с двенадцатой по двадцатую оставим пустыми. Это было сделано для того, чтобы между коробками, содержащими карточки n было ровно n коробок.
Назовем нормой n сумму номеров коробок, содержащих карточку с номером n.
Заметим, что в данный момент норма n равна 1 + (1 + n + 1) = n + 3 [Одна карточка каждого вида лежит в коробке 1, а вторая карточка лежит через n коробок от нее - в коробке с номером 1 + n + 1], причем норма нечетных чисел четна, норма четных чисел нечетна. И правда:
1) пусть n - нечетно. Тогда норма n - четное число(как сумма нечетных чисел)
2) пусть n - четно. Тогда норма n - нечетное число(как сумма четного и нечетного чисел)
Так как среди цифр 5 четных и 5 нечетных, то сумма норм этих цифр нечетна [Сумма 5 нечетных чисел нечетна, сумма 5 четных чисел четна, тогда сумма всех норм нечетна как сумма четного и нечетного чисел]
Теперь, чтобы сохранить кол-во коробок между коробками с карточками одного вида, будем сдвигать карточки одного вида в одну сторону на одно и то же количество коробок. Допустим, что после нескольких сдвигов условие задачи выполняется.
Заметим, что четность нормы n при этом не изменится. И вправду: Пусть первая карточка n лежит в коробке a, вторая - в коробке b, сдвиг идет на k коробок. Норма до сдвига: a + b. Норма после сдвига: (a + k) + (b + k) = a + b + 2k - сумма нормы до сдвига и четного числа. Очевидно, что четности совпадают.
Значит и суммы норм до и после всех сдвигов совпадают по четности.
Очевидно, что сумма норм всех карточек после всех сдвигов при выполнении условия задачи равна сумме номеров коробок [Все коробки заняты, и в каждой по одной карточке].
Сумма номеров коробок в конце равна (1 + 20) / 2 * 20 = 21 * 10 = 210 - четное число. Противоречие с тем, что четность норм не меняется.
А значит и получить порядок карт, указанный в условии, невозможно
Ответ: нет, нельзя