ПРОСТАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ 5-7 КЛАССОВ. 98 БАЛЛОВ.
Решение можно из Интернета, книги и любого другого источника. Пожалуйста, с решением заранее спасибо!
В каждой вершине куба записано число (рисунок прилагается ниже). За
один шаг разрешено к двум числам, расположенным на одном ребре,
прибавить по единице. Можно ли добиться, чтобы все числа в
вершинах стали одинаковыми?
В первом примере, ответ, наверное, нет. Сумма всех чисел на кубе будет равна 8а, а с прибавлением каждый раз по единице, мы четность не изменяем, поэтому у нас всегда будет получаться нечетное число, а 8а - заведомо четное. Правильно?
Вот примерно также нужно сделать второй и третий случай (привести пример или опровергнуть).
Ответы
Ответ:
3 постараюсь добавить
Пошаговое объяснение:
3 никак не получается. Если по бокам добавлять получается так что всегда сумма одной диагонали будет больше другой на 2. По высоте тоже самое только с нижним основанием. Вывод: нельзя
1) У первого куба сумма всех цифр в вершинах нечётна (равна 1), а должна быть чётна в итоге (если в каждой вершине написано число k, то сумма чисел во всех вершинах - 8k). Так как каждый раз мы увеличиваем сумму всех чисел в кубе на 2, а 2 - чётное число, то мы из нечётного никогда не получим чётное.
3) Теперь посмотрим на третий куб (где две единицы). Раскрасим его вершины в чёрный и белый цвета так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были окрашены в разные цвета. Заметим, что теперь обе вершины с единицами одного цвета. Без ограничения общности скажем, что он белый. Тогда сумма всех чисел в белых вершинах равна 2, а во всех чёрных - 0. Заметим также, что на каждом шаге обе суммы увеличиваются на 1. Действительно, если бы это было не так, то нашлись бы две вершины одного цвета, соединённые ребром. Противоречие. Так как каждая из сумм увеличивается на 1, они никогда не станут равны, следовательно, не станут равны и все числа в кубе.
2) Тут можно привести пример (надеюсь, разберётесь с моим рисунком).
Ответ: (1), (3) - нельзя, (2) - можно.
