Question

Решить уравнение (вложение)

Answer 1

Ответ:  x = 12, y = 3 ;   x = -5, y = 20.

Решение:

Домножим каждую часть первого уравнения на (x - y):

xy = 4x - 4y,

x + y = 15.

Теперь в первое уравнение везде вместо y подставляем (15 - x) :

x(15 - x) = 4x - 4(15 - x).

Раскрываем скобки, приводим подобные:

15x - x² = 4x - 60 + 4x,

-x² + 15x = 8x - 60,

-x² + 7x + 60 = 0,

x² - 7x - 60 = 0.

Осталось решить квадратное уравнение. Вот его корни:

x₁ = 12, x₂ = -5.

Подставляем эти значения во второе уравнение:

12 + y = 15, y = 3.    (12 * 3) / (12 - 3) = 4.

-5 + y = 15, y = 20.   (-5 * 20) / (-5 - 20) = 4.

[Вначале мы смогли домножить на  (x - y), так как 12 - 3 ≠ 0 и -5 - 20 ≠ 0.]

Следовательно, у нас есть две пары решений:

x = 12, y = 3  ;   x = -5, y = 20.

Answer 2

$\left \{ {{\frac{xy}{x-y}=4} \atop {x+y=15}} \right.; \left \{ {{xy-4x+4y=0} \atop {x+y=15}} \right.; \left \{ {{(x+4)(y-4)=-16} \atop {(x+4)+(y-4)=15}} \right.$

Обозначим x+4=p; y-4=q.

$\left \{ {{pq=-16} \atop {p+q=15}} \right.$

Используя теорему Виета, делаем вывод, что p и q можно искать как решения квадратного уравнения

$t^2-15t-16=0; (t-16)(t+1)=0; \left [ {{t=16} \atop {t=-1}} \right. .$

1-й случай: $\left \{ {{p=16} \atop {q=-1}} \right. ; \left \{ {{x=12} \atop {y=3}} \right.$

2-й случай: $\left \{ {{p=-1} \atop {q=16}} \right.; \left \{ {{x=-5} \atop {y=20}} \right.$

Единственный неравносильный переход у нас был при избавлении от знаменателя. Надо проверить, что $x\not= y.$ В нашем случае это видно невооруженным глазом.

Ответ: $(12,3); (-5,20)$