Question

100 Баллов! С ПОЛНЫМ И ПОНЯТНЫМ РЕШЕНИЕМ. Заранее спасибо.​

Answer 1

21. Определим сначала ОДЗ уравнения. Дробь существует, когда знаменатель дроби не обращается в ноль.

$6x^2-\pi x-\pi^2x\ne0~~~~\Rightarrow~~~ x_1\ne\dfrac{\pi}{2};~~~ x_2\ne-\dfrac{\pi}{3}$

Далее дробь равен нулю, если ее числитель равен нолю.

$2-3\sin x-\cos 2x=0\\ 2-3\sin x-(1-2\sin^2x)=0\\ \\ 2\sin^2x-3\sin x+1=0$

Решим как квадратное уравнение относительно sin x.

$D=9-8=1;\\ \\ \sin x=\dfrac{3+1}{4}=1~~~\Rightarrow~~~~ x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}~~, n\ne0\\ \\ \sin x=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}~~~\Rightarrow~~~ x=(-1)^k\cdot\dfrac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

22. Выделим полный квадрат.

$y=2\cos^2x-3\sqrt{3}\cos x-\sin^2x+5=2\cos^2x-3\sqrt{3}\cos x-(1-\cos^2x)+\\ \\ +5=3\cos^2x-3\sqrt{3}\cos x+4=3(\cos^2x-\sqrt{3}\cos x)+4=\\ \\ =3(\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\cos x+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2)+4=3(\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{7}{4}$

Функция принимает наименьшее значение, когда $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, и равно 7/4.