Question

Первый,третий и четвёртый пожалуйста

Answer 1

1. Докажем отдельно два неравенства:

1) $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$

$\frac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\\\frac{4a^2b^2}{a^2+2ab+b^2}\leq ab\\\frac{4a^2b^2-a^3b-2a^2b^2-ab^3}{a^2+2ab+b^2}\leq 0\\\frac{a^3b-2a^2b^2+ab^3}{a^2+2ab+b^2}\geq 0|:ab>0\\\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}\geq 0\\\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\geq 0$

Последнее неравенство верно, значит, и первое тоже верно.

2) $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$

$2\sqrt{ab}\leq a+b\\4ab\leq a^2+2ab+b^2\\a^2-2ab+b^2\geq 0\\(a-b)^2\geq 0$

Последнее неравенство верно, значит, и первое тоже верно.

Исходя из справедливости неравенств 1) и 2), двойное неравенство тоже верно.

3. По неравенству Коши

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}*\frac{b}{c}*\frac{c}{a}}=3\sqrt[3]{1} =3$

4. $\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

$\frac{a+b+c}{9}\geq \frac{1}{\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}}\\\frac{a+b+c}{3}\geq \frac{1}{2}*\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}$

По неравенству Коши

$\frac{1}{2}*\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}\leq \frac{1}{2}*\frac{a+b+b+c+c+a}{3}=\frac{1}{2}*\frac{2a+2b+2c}{3}=\frac{a+b+c}{3}$

Что доказывает первоначальное неравенство.